Por Hélio Peixoto
PARTE 1: O MÉTODO
O Simplex se apresenta como uma forma geométrica que representa uma aproximação tangencial planar da superfície de resposta do Design. A técnica possui o número de vértices uma unidade maior que a quantidade de suas dimensões; portanto, em um estudo com 3 dimensões, o número de vértices seriam 4. Assim como o EVOP, o Simplex consiste em pequenas mudanças nas configurações dos parâmetros estudados, de forma iterativa, para chegar mais próximo do resultado desejado.
Em suma, o método inicia com a solução viável sendo um dos vértices (ou extremo adjacente) da figura geométrica. Depois, há a constatação ou não de que aquela solução é a ótima. Caso não seja, isso quer dizer que algum outro extremo adjacente maximiza ou minimiza (a depender do objetivo) a função em estudo. Em seguida, é feita uma mudança de vértice e posterior verificação até encontrar o vértice ótimo para aquele problema.
Nenhuma Dimensão
Pelo fato do número de vértices ser um acima da quantidade de dimensões, em teoria existe o Simplex com nenhuma dimensão. Porém, por só existir um vértice, não há extremos adjacentes para a mobilidade do estudo e nem graus de liberdade, como visto na Figura 1.
Por isso, não há aplicação prática para este tipo de problema.
Uma Dimensão
Um Simplex de uma dimensão possui dois vértices. Portanto, terá uma reta (dois pontos) em qualquer direção como possibilidade de se mover, como observado na Figura 2.
Para isso acontecer, os extremos adjacentes não podem coincidir, ou seja, o valor do único fator em questão precisa ser diferente.
Reflexão para uma Dimensão
A continuação do experimento depende da geração de um novo vértice, caso o ponto tenha oferecido uma resposta ruim à função objetivo, por isso eles não podem coincidir. Dito isto, a produção de um extremo adjacente, em um Simplex de uma dimensão, demonstrado na Figura 3, é feito da seguinte maneira:
- Calculamos uma reta com a mesma distância entre os dois vértices atuais, incluindo aquele rejeitado;
- Projetamos a reta calculada pelo vértice remanescente;
- Desenhamos a reta final com o vértice remanescente da fase anterior e o novo vértice, que possui uma distância igual ao remanescente comparado com o vértice rejeitado.
Note que o ponto situado na extremidade esquerda da Figura 3 é o vértice antigo e o mais à direita é o novo vértice.
Duas Dimensões
Para duas dimensões, o Simplex possuirá 3 vértices e formará um triângulo, como observado na Figura 4.
É importante ratificar que nenhum dos vértices podem coincidir com outro, pois prejudicaria a mobilidade e reflexão para este tipo de experimento.
Reflexão para duas Dimensões
Caso um vértice seja rejeitado por não minimizar ou maximizar a função objetivo, a reflexão para duas dimensões, como vista na Figura 5, é feita da seguinte maneira:
- Calculamos o ponto médio entre os dois vértices remanescentes;
- Obtemos a distância do vértice rejeitado para o ponto médio calculado no passo 1;
- Desenhamos o novo triângulo com os dois vértices remanescentes da fase anterior e o novo vértice, que possui uma distância para o ponto médio igual ao vértice rejeitado.
Note que o ponto situado na extremidade inferior esquerda da Figura 5 é o vértice antigo e o ponto no canto superior direito é o novo vértice. O círculo central é o ponto médio citado no passo 1.
Três Dimensões
Nesta situação, o Simplex possuirá 4 vértices e formará um tetraedro, como observado na Figura 6.
É importante ressaltar que nenhum dos vértices podem coincidir com outro, pois prejudicaria a mobilidade e reflexão para este tipo de experimento.
Reflexão para três Dimensões
Caso um vértice seja rejeitado por não minimizar ou maximizar a função objetivo, a reflexão para três dimensões, como vista na Figura 7, é feita da seguinte maneira:
- Calculamos o ponto médio entre as três faces compostas pelos vértices remanescentes;
- Obtemos a distância do vértice rejeitado para o ponto médio calculado no passo 1;
- Desenhamos o novo triângulo com os três vértices remanescentes da fase anterior e o novo vértice, que possui uma distância para o ponto médio igual ao vértice rejeitado.
PARTE 2: A ALTERNATIVA
DIFERENÇAS ENTRE OS MÉTODOS EVOP E SIMPLEX
Spendley, em 1962, menos de uma década depois de Box desenvolver o EVOP, questionou se a Operação Evolucionária poderia alcançar as condições ótimas mais rapidamente e com cálculos ainda mais simples. Com isso, o método Simplex seria usado da mesma forma que o EVOP, sendo o número de variáveis de entrada o mesmo que a quantidade de dimensões, o que possibilitou a expansão do Simplex principalmente para o ramo industrial. Além disso, o número de experimentos cairia drasticamente, como mostra o Quadro abaixo.
Da mesma forma, apesar da maior simplicidade, as informações obtidas do processo são mais escassas.
Rutten, em 2014, comparou os dois métodos numa simulação, levando em consideração três variáveis: o Factorstep (distância entre as medições iniciais), o Sinal-Ruído e o número de fatores. As duas primeiras variáveis são fundamentais para a robustez do processo, uma vez que a escolha de um factorstep pequeno aumenta o ruído e deixa o Simplex inutilizável, tornando o EVOP a melhor alternativa neste caso. Apesar disso, os dois métodos podem ser usados em conjunto. Como o Simplex é uma boa técnica para alcançar a região ótima, o EVOP é mais confiável para achar, de fato, o ponto ótimo.
PARTE 3: A INDÚSTRIA
APLICAÇÃO DO SIMPLEX EM PROCESSO INDUSTRIAL
Kenworthy reportou a aplicação de Simplex para diminuir a produção de produtos não conformes de uma fábrica de papel. O objetivo era otimizar a resistência à tração a partir de dois fatores: diferença de velocidade entre os grupos de cilindro e tensão do feltro. Por algum motivo, os dados da tensão do feltro foram perdidos depois do quinto experimento, então o Simplex começou novamente do ponto 6, porém manteve os dados de otimização já adquiridos da diferença de velocidade entre os cilindros. A Figura 8 mostra os experimentos do método.
Na Figura 8, o eixo X se refere à tensão do feltro e o eixo Y à diferença de velocidade em porcentagem.
O autor percebeu que as mudanças na tensão do feltro estavam surtindo pouco efeito na resistência à tração. Com isso, o valor da tensão foi dobrada a partir do experimento 20, como mostrado na Figura 9, e observada comparando o eixo X das Figuras 8 e 9.
Na Figura 9, o eixo X se refere à tensão do feltro e o eixo Y à diferença de velocidade em porcentagem.
O aumento teve boas consequências e o experimento 24 foi o ótimo do processo. Porém, os testes continuaram até se ter a certeza que o ótimo global tenha sido alcançado.
É importante notar que a duração do Simplex foi de 50 horas, enquanto o do EVOP, para o mesmo processo, foi de 15 semanas. O aumento na resistência à tração foi de 15%!
Se sua empresa precisa de estudos estatísticos como o Simplex para otimizar seus processos, entre em contato com a Stepps e podemos conversar sobre nossas soluções!
Para se inscrever gratuitamente na Stepps News, acesse: bit.ly/steppsnews
